www.8030.com 申博138网址 www.447.com 申博官方网 泰来娱乐88官网
 

321隐真问题中导数的意思

【论文时间: 2019-07-05    浏览次数:

  §2 导数正在现实问题中的使用 2.1 现实问题中导数的意义 【课标要求】 1.理解平均变化率取导数的关系. 2.理解导数的现实意义. 3.体味导数意义正在现实糊口中的使用. 【焦点扫描】 1.理解导数的概念、导数的几何意义及现实意义. (沉点、难点) 2.操纵导数处理现实问题.(沉点) 3.常取方程、不等式连系命题. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 自学扶引 1.糊口中的变化率问题 (1)正在物理学中,凡是称力正在单元时间内做的功为 功率 ,它的 单元是瓦特. (2)正在景象形象学中,凡是把正在单元时间(如1时、1天等)内的降雨量 称做降雨强度 ,它是反映一次降雨的一个主要目标. (3)正在经济学中,凡是把出产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导 函数称为 边际成本 ,f′(x0)指的是当产量为x0 时,出产成本的 添加速度,也就是当产量为x0 时,每添加一个单元的产量,需 要添加f′(x0)个单元的成本. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 2.导数正在现实问题中的使用 正在分歧的现实问题中导数的意义是不不异的,要连系具体 问题进行阐发,正在某一点处的导数的现实意义是当自变量 正在该点处的改变量趋近于零时,平均变化率所趋近的值, 问题分歧有分歧的意义. (1)功率是功关于时间的导数. (2)降雨强度是降雨量关于时间的导数. (3)边际成本是成本关于产量的导数. (4)速度是程关于时间的导数. (5)线密度是质量关于长度的导数. (6)气球的膨缩率是气球半径关于体积的导数. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 :吹气球时,会发觉:跟着气球内空气容量的增 加,气球的半径添加得越来越慢,能从数学的角度注释这一 现象吗? 3 3V 4 3, 提醒 按照题意V(r)= πr 即r(V)= ,明显r′(V) 3 4π ? 3 ? 3 3 ? ′= 1 =? ·V 3 4π ? ? 3 3 V 4π · - 2 3 0,r(V)是枯燥递增函 数,所以跟着气球内空气容量的添加,气球的半径增 加. 2 )′=- 2 · 5 0,∴r′(V)是枯燥递减函数,因而增 又(V 3 3V3 - - 加得越来越慢. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 名师点睛 1.导数的几何意义 函数y=f(x)正在x0处的导数,曲直线))处 的切线的斜率.函数y=f(x)正在x0处切线的斜率反映了导数 的几何意义. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 2.导数正在现实问题中的意义 (1)要理解导数正在现实问题中的意义,第一要准确理解导 数的定义,按导数的定义去思虑现实问题.第二要看函 数的改变量Δy及自变量的改变量Δx的现实意义.第三再 Δy 看Δx趋于0时, 趋于一个固定的值的现实意义. Δx (2)正在分歧的现实问题中导数的意义虽有表述上的分歧, 但它们有着配合的特征,即函数正在某一点处的导数暗示 函数值正在该点处的变化快慢,也就是瞬时变化率,求出 了导函数,就能够操纵导函数求定义域内肆意点处的瞬 时变化率. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 题型一 正在物理学中的使用 1 2 【例1】 落体活动的活动方程为s=2gt ,(1)求t从3 s 变到3.1 s时,s关于时间t的平均变化率,并注释它的现实 意义;(2)求s′(3)(s的单元为m,t的单元为s). [思摸索] 若s=f(t)为活动物体的位移关于时间的函数,则 物体正在时辰t的速度为v(t)=s′=f′(t),物体正在t时辰的加快度a (t)=[v(t)]′. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 解 (1)Δs=s(3.1)-s(3) 1 2 1 = g×3.1 - g×32=0.305g(m), 2 2 Δt=3.1-3=0.1(s), Δs 0.305g ∴ = =3.05g(m/s). 0.1 Δt 它暗示从t=3 s到t=3.1 s这段时间内,落体活动的物 体的平均速度为3.05g(m/s). (2)s′=gt,∴s′(3)=3g(m/s).它暗示落体活动的 物体正在t=3 s时的瞬时速度为3g(m/s). 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 函数的导数即函数的瞬时变化率,正在分歧的中可 具有分歧的现实意义,正在本例中,t=3时,即正在3 s时的瞬时速 度. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 【锻炼1】 高台跳水活动中,活动员相对于水面的高度h (单元:m)取起跳后的时间t(单元:s)之间的关系式为h(t)= 65 2 -4.9t +6.5t+10,求活动员正在t= 98 s时的瞬时速度,并解 释此时的活动情况. 解 65 令t0= ,Δt为增量. 98 h?t0+Δt?-h?t0? 则 = Δt ?65 ? ? 65 ? ? 65? 65 2 -4.9×? +Δt? +6.5×? +Δt?+10+4.9×? ?2-6.5× -10 98 ?98 ? ? 98 ? ? 98? Δt 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 = ? 65 ? -4.9Δt? +Δt?+6.5Δt ? 49 ? Δt ?65 ? =-4.9?49+Δt?+6.5 ? ? h?t0+Δt?-h?t0? ∴lim Δt Δt→0 ?65 ? =lim[-4.9? +Δt?+6.5]=0 ?49 ? Δt→0 65 即活动员正在t0= s时的瞬时速度为0 m/s. 98 申明活动员处于跳水活动中离水面最高点处. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 题型二 正在经济糊口中的使用 【例2】 东方机械厂出产一种木材旋切机械,已知出产总利润c 元取出产量x台之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量为1 000台的总利润取平均利润; (2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变 量; (3)求c′(1 000)取c′(1 500),并申明它们的现实意义. [思摸索] 求总利润、平均利润以及利润的改变量,并说 明现实意义.解答本题,可间接按照函数平均变化率的意义 列式计较. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 解 (1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元), c?1 000? 平均利润为 1 000 =5 000.6(元). (2)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变 c?1 500?-c?1 000? 6 000 600-5 000 600 量为 = =2 500 1 500-1 000 000(元). 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 (3)∵c′(x)=(-2x2+7 000x+600)′=-4x+7 000, ∴c′(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元), c′(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元), 申明:当产量为1 000台时,每多出产一台机械可多获利3 0 00元.而当产量为1 500台时,每多出产一台机械可多获利1 000元. 明白导数正在现实问题中的意义是解答此类问 题的环节,边际成本为出产成本y关于产量x的函数的导函 数. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 Q2 【锻炼2】 已知某商品的成本函数为C(Q)=100+ (Q为 4 产物的数量). (1)求Q=10时的总成本、平均成本及边际成本; (2)当产量Q为几多时,平均成本最小?最小为几多? 102 解 (1)Q=10时的总成本C(10)=100+ 4 =125; C?10? Q=10时的平均成本 C?10? = 10 =12.5. 边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数, 1 故边际成本C′(Q)= Q, 2 Q=10时的边际成本是C′(10)=5. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 C?Q? 100 Q (2)由(1)得,平均成本 C?Q? = = +4 , Q Q 100 Q 100 Q 而 + ≥2· · =10, Q 4 Q 4 100 Q 当且仅当 = 4 ,即Q=20时,等号成立, Q 所以当产量Q为20时,平均成本最小,且平均成本的最小 值是10. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 题型三 正在日常糊口中的使用 【例3】 (12分)一名工人上班后起头持续工做,出产的产物 质量y(单元:g)是工做时间x(单元:h)的函数,设这个函 x2 数暗示为y=f(x)=20+4 x. (1)求x从1 h变到4 h时,y关于时间x的平均变化率,并解 释它的现实意义. (2)求f′(1),f′(4),并注释它的意义. 审题指点 弄清平均变化率和导数的意义是处理问题的关 键,按照分歧问题注释它们的现实意义. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 【解题流程】 (1) 求出f?1?及f?4? → 计较从1 h到4 h的平均变化率 → 注释其现实意义 (2) 求f′?x? → 计较f′?1?,f′?4? → 注释其意义 [规范解答] (1)当x从1 h变到4 h时, 81 176 产量y从f(1)= g变到f(4)= g, 20 20 176 81 f?4?-f?1? 20 -20 19 此时平均变化率为 = 3 =12 (g/h), (4分) 4-1 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 19 它暗示从1 h到4 h这段时间这小我平均每小时出产12 g产 品. (6分) x 2 21 7 (2)f′(x)= 10 + ,于是f′(1)= 10 (g/h),f′(4)= 5 x (g/h), (8分) 21 别离暗示正在第1小时和第4小时这小我每小时出产产物 10 7 g和 5 g. (12分) 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 【题后反思】 正在分歧的现实问题中导数的意义是不不异的,要 连系具体问题进行阐发,正在某一点处的导数的现实意义是当自 变量正在该点处的改变量趋近于零时,平均变化率所趋近的值, 问题分歧有分歧的意义. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 【锻炼3】 某年高考,某考生正在加入数学科测验时,其 解答完的标题问题数量y(单元:道)取所用时间x(单元:分钟) 近似地满脚函数关系y=2 x. (1)求x从0分钟变化到36分钟时,y关于x的平均变化率, 并注释它的现实意义; (2)求f′(64),f′(100),并注释它的现实意义. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 解 (1)x从0分钟变化到36分钟,y关于x的平均变化率为 f?36?-f?0? 12 1 =36=3. 36-0 1 它暗示该考生前36分钟平均每分钟解答 道题. 3 1 1 1 (2)∵f′(x)= ,∴f′(64)=8,f′(100)=10. x 它们别离暗示该考生正在第64分钟和第100分钟时每分钟可 1 1 解答8和10道题. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 方式技巧 探究性问题 研究函数的性质,导数是一个主要的东西.例如求函数极值问 题最终为研究函数的枯燥区间找极值点的问题.其理论依 据就是:对可导函数来说,f′(x0)=0是x0为极值点的需要而不充 分前提. 本节探究性问题次要是借帮函数极值研究方程根的个数和图像 交点个数问题. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 【示例】 设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a. (1)求f(x)的极值; (2)能否存正在实数a,使得方程f(x)=0刚好有两个实数根?若 存正在,求出实数a的值;若不存正在,请说由. [思阐发] (1)根据求函数极值的方式求解. (2)按照极值大小阐发函数图像环境,据此可求出实数a的 值. 解 (1)令f′(x)=-3x2+3=0,得x1=-1,x2=1.又由于当x ∈(-∞,-1)时,f′(x)0;当x∈(-1,1)时,f′(x)0;当x ∈(1,+∞)时,f′(x)0. 所以f(x)的极小值为f(-1)=a-2,f(x)的极大值为f(1)=a+2. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 (2)由于f(x)正在(-∞,-1)上枯燥递减,且当x→-∞时,f(x)→+ ∞;又f(x)正在(1,+∞)上枯燥递减,且当x→+∞时,f(x)→-∞; 而a+2a-2,即函数的极大值大于极小值,所以当极大值等于 0时,有极小值小于0,此时曲线f(x)取x轴恰有两个交点,即方程 f(x)=0刚好有两个实数根,所以a+2=0,a=-2,如图(1).当 极小值等于0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)取x轴恰有两个交 点,即方程f(x)=0刚好有两个实数根,所以a-2=0,a=2.如图 (2).综上,当a=2或a=-2时方程恰有两个实数根. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 方式点评 (1)研究方程根的问题可认为研究响应函数的 图像问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图像取x轴交 点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)取g(x)的图像的交 点的横坐标. (2)现实上操纵导数不只能判断函数的枯燥性,研究函数的极值 和最值环境,还能正在此根本上画出函数的大致图像,获得函数 图像取x轴的交点或两个函数图像的交点的前提,从而为研究方 程的根供给便利.所以正在处理方程的根的问题时,要长于使用 导数的方式进行求解. 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼 单击此处进入 活页规范锻炼 课前探究进修 讲堂讲练互动 活页规范锻炼

  3.2.1现实问题中导数的意义_数学_高中教育_教育专区。§2 导数正在现实问题中的使用 2.1 现实问题中导数的意义 【课标要求】 1.理解平均变化率取导数的关系. 2.理解导数的现实意义. 3.体味导数意义正在现实糊口中的使用. 【焦点扫描】 1.理解导数


热门资讯